√ 2 একটি অমূলদ সংখ্যা

 প্রমাণ করে দেখা যাক 2–√
√ 2একটি অমূলদ সংখ্যা 

প্রমাণ : মনে করি 2–√$\sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা অর্থাৎ 2–√$\sqrt{2}$ কে pq$\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। যেখানে p ও q দুটি অখন্ড সংখ্যা এবং পরস্পর মৌলিক এবং q≠0$q\ne 0$.

অতএব আমরা বলতে পারি 2–√=pq⇒2=p2q2$\sqrt{2}=\frac{p}{q}\Rightarrow 2=\frac{p^2}{q^2}$

অতএব p2=2q2$p^2=2q^2$

এখন ডানপক্ষ যেহেতু 2 এর গুণিতক তাহলে বামপক্ষ অবশ্যই  2 এর গুণিতক হবে। অতএব p2$p^2$ বা p অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা । 

ধরি p = 2r

তাহলে 

p2=2q2⇒(2r)2=2q2⇒4r2=2q2⇒q2=2r2$\begin{array}{l}{p}^2=2q^2\\ \Rightarrow {\left(2r\right)}^2=2q^2\\ \Rightarrow 4r^2=2q^2\\ \Rightarrow q^2=2r^2\end{array}$

এখন দেখা যাচ্ছে q একটি জোড় সংখ্যা। অর্থাৎ এর থেকে বোঝা যাচ্ছে p এবং q উভয়েই জোড়সংখ্যা। তাদের মধ্যে একটি সাধারণ উৎপাদক হল 2 . কিন্তু আমরা প্রথমেই ধরে ছিলাম p এবং q পরস্পর মৌলিক । সুতরাং 2–√$\sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা এই ধারণাটি ভুল । অতএব প্রমাণিত 2–√$\sqrt{2}$ একটি অমূলদ সংখ্যা ।