সমান্তর ধারা

• সাধারন ধারা: একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি প্রাপ্ত বা হ্রাসকৃত পরপর কিছু সংখ্যাকে সাধারণ ধারা বলে।
• সমান্তর ধারা: কোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মানের পার্থক্য সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। যেমন: 1+2+3+4+... ..100
• গুণোত্তর ধারা: একটি ধারাকে প্রতিবার নির্দিষ্ট একটি সংখ্যা দিয়ে গুণ অথবা ভাগ করে নতুন রাশি তৈরী করলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়। যেমন: 2+4+8+16+32 ...... +256

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও শেষ পদ দেয়া থাকলে...

সমষ্টি=পদসংখ্যা (শেষপদ + প্রথম পদ)২এবং পদসংখ্যা=শেষপদ - প্রথম পদসাধারন অন্তর+১

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে r তম পদ = a+(r-1)d

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d বিশিষ্ট সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি s = n2 {2a+(n-1)d}

পদক্রমের মান বের করার ক্ষেত্রে সূত্র হলো:
r তম পদ = a + (r-1)d

সূত্র-১: সমান্তর ধারায় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল [ যখন ধারাটি ১ থেকে শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ১ হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ]

S = n(n+1)2 এখানে, n = পদসংখ্যা s = যোগফল

সূত্র-২: যখন ১ ভিন্ন অন্য সংখ্যা দ্বারা ক্রমিক সংখ্যা শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ১ হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ] তখন---

S = n2(n+1)-a2(a+1)
এখানে, n = শেষ সংখ্যা ,
S = যোগফল,
a = যে সংখ্যা দ্বারা সিরিজ শুরু হয় তার আগের সংখ্যা।

সূত্র-৩: সমান্তর ধারায় ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল

S = M2 [M = মধ্যমা = ১ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা২]

সূত্র-৪: সমান্তর ধারায় ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল

S = M(M-1) [M = মধ্যমা = ১ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা২]

সূত্র-৫: সমান্তর ধারায় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল [ যখন ধারাটি ১ কিংবা ১ এর অধিক যে কোন সংখ্যা থেকে শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ২ এর বেশি হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ]
তখন প্রথমে পদসংখ্যা বের করতে হবে এবং তারপর সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে ।

পদসংখ্যা = শেষ পদ - প্রথম পদসাধারন অন্তর+১

এবং সমষ্টি = পদসংখ্যা ( শেষ পদ + প্রথম পদ )২

সূত্র-৬: শেষ পদ না থাকলে সমষ্টি বের করার সূত্র S = n2{2a + (n - 1) d}

সূত্র-৭: সমান্তর ধারায় বর্গ যোগ পদ্বতির ক্ষেত্রে-

[ ১২+২২+৩২+.... +n2 ]
ধারার সমষ্টি S = $\frac{}{}$১৬

 n(n+১)(২n+১) এখানে , n = শেষসংখ্যা

সূত্র-৮: সমান্তর ধারায় ঘন যোগ পদ্বতির ক্ষেত্রে-

[ ১৩+২৩+৩৩+.... +n3 ]
ধারার সমষ্টি S = ${\left(\left\{,\frac{\mathrm{n(n+1)}}{2},\right\}\right)}^2$ এখানে , n = শেষসংখ্যা

গুণোত্তর ধারা

গুণোত্তর ধারার সূত্র দুটি যথা:

১. r ৩ম পদ = aqr - 1

২. n সংখ্যক পদের সমষ্টি S = a×qn- 1q - 1 [ যখন q এর মান 1 থেকে বড় হয় তখন এই সূত্র ]

আবার যখন q এর মান 1 থেকে ছোট হয় তখন নিচের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

S = a×1-qnq - 1

গুণোত্তর ধারার পদের সমষ্টি বের করা

১. n ৩ম পদ = aqn - 1

২. n সংখ্যক পদের সমষ্টি S = a×qn- 1q - 1 [ যখন q এর মান 1 থেকে বড় হয় তখন এই সূত্র ]

আবার যখন q এর মান 1 থেকে ছোট হয় তখন নিচের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

S = a×1-qn1 - q<span></span>

<br>