সমান্তর ধারা
- সাধারন ধারা: একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি প্রাপ্ত বা হ্রাসকৃত পরপর কিছু সংখ্যাকে সাধারণ ধারা বলে।
- সমান্তর ধারা: কোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মানের পার্থক্য সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। যেমন: 1+2+3+4+... ..100
- গুণোত্তর ধারা: একটি ধারাকে প্রতিবার নির্দিষ্ট একটি সংখ্যা দিয়ে গুণ অথবা ভাগ করে নতুন রাশি তৈরী করলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়। যেমন: 2+4+8+16+32 ...... +256
কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও শেষ পদ দেয়া থাকলে...
একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে r তম পদ = a+(r-1)d
প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d বিশিষ্ট সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি s = {2a+(n-1)d}
পদক্রমের মান বের করার ক্ষেত্রে সূত্র হলো:
r তম পদ = a + (r-1)d
সূত্র-১: সমান্তর ধারায় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল [ যখন ধারাটি ১ থেকে শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ১ হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ]
S = এখানে, n = পদসংখ্যা s = যোগফল
সূত্র-২: যখন ১ ভিন্ন অন্য সংখ্যা দ্বারা ক্রমিক সংখ্যা শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ১ হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ] তখন---
S = (n+1)-(a+1)
এখানে, n = শেষ সংখ্যা ,
S = যোগফল,
a = যে সংখ্যা দ্বারা সিরিজ শুরু হয় তার আগের সংখ্যা।
সূত্র-৩: সমান্তর ধারায় ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল
S = [M = মধ্যমা = ]
সূত্র-৪: সমান্তর ধারায় ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল
S = M(M-1) [M = মধ্যমা = ]
সূত্র-৫: সমান্তর ধারায় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল [ যখন ধারাটি ১ কিংবা ১ এর অধিক যে কোন সংখ্যা থেকে শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ২ এর বেশি হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ]
তখন প্রথমে পদসংখ্যা বের করতে হবে এবং তারপর সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে ।
পদসংখ্যা =
এবং সমষ্টি =
[
ধারার সমষ্টি S =
n(n+১)(২n+১) এখানে , n = শেষসংখ্যা
সূত্র-৮: সমান্তর ধারায় ঘন যোগ পদ্বতির ক্ষেত্রে-
[ ]
ধারার সমষ্টি S = এখানে , n = শেষসংখ্যা
গুণোত্তর ধারা
১. r ৩ম পদ =
২. n সংখ্যক পদের সমষ্টি S = [ যখন q এর মান 1 থেকে বড় হয় তখন এই সূত্র ]
আবার যখন q এর মান 1 থেকে ছোট হয় তখন নিচের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
S =
গুণোত্তর ধারার পদের সমষ্টি বের করা
২. n সংখ্যক পদের সমষ্টি S = [ যখন q এর মান 1 থেকে বড় হয় তখন এই সূত্র ]
আবার যখন q এর মান 1 থেকে ছোট হয় তখন নিচের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
S =